Objectifs
- Étudier l'appartenance d’un point à la courbe représentative de la fonction
. - Connaitre les coordonnées d’un point de la courbe représentative de.
- Calculer les coordonnées d’un point de la courbe représentative d’une fonction.
. Points clés
- Dire que le pointM de coordonnées appartient à la courbe d’une fonction signifie que.
- Pour étudier l’appartenance d’un pointM à une courbe, il faut:
- étape 1 : remplacer par dans l’expression de la fonction;
- étape 2 : calculer ;
- étape 3 : comparer le résultat obtenu avec: s’il y a égalité, le pointM appartient à; s’il n’y a pas égalité, le pointM n’appartient pas à.
- étape 1 : remplacer
- Pour calculer à partir de, remplacer par sa valeur dans l’expression algébrique de la fonction. On obtient.
- Pour calculer à partir de, remplacer par sa valeur dans l’expression algébrique de la fonction. Puis, isoler d’un côté du signe égal. Cela revient à résoudre une équation d’inconnue.
appartient à la courbe
d’une fonction 
signifie que
. 
, il faut: 
par
dans l’expression de la fonction
; 
; 
: s’il y a égalité, le pointM appartient à
; s’il n’y a pas égalité, le pointM n’appartient pas à
. 
à partir de
, remplacer
par sa valeur dans l’expression algébrique de la fonction. On obtient
. 
à partir de
, remplacer
par sa valeur dans l’expression algébrique de la fonction. Puis, isoler
d’un côté du signe égal. Cela revient à résoudre une équation d’inconnue
. Pour bien comprendre
Image, antécédents d’une fonction
1.Appartenance d'un point à une courbe
Soit 
une fonction définie sur un intervalleI, ayant pour représentation graphique une courbe 
.
Dire que le pointM de coordonnées
appartient à la courbe
signifie que
.
Méthode
Pour étudier l’appartenance d’un pointM à une courbe
, il faut:
- remplacer par dans l’expression de la fonction;
- calculer;
- comparer le résultat obtenu avec: s’il y a égalité, le pointM appartient à; s’il n’y a pas égalité, le pointM n’appartient pas à.
par
dans l’expression de la fonction
; 
; 
: s’il y a égalité, le pointM appartient à
; s’il n’y a pas égalité, le pointM n’appartient pas à
. Exemple 1
Soit 
la fonction définie sur l’intervalle [–4;3] par
. On veut vérifier que le pointA de coordonnées (2;4) appartient à la courbe représentative de la fonction
.
-
-
- Le résultat obtenu est bien égal à. Donc le pointA appartient à la courbe représentative de la fonction.
. Donc le pointA appartient à la courbe représentative de la fonction
. Exemple 2
Soit 
la fonction définie sur l’intervalle [–2;7] par
.
On veut étudier l’appartenance du pointB de coordonnées (3;6) à la courbe représentative de la fonction
.
-
-
- Le résultat obtenu est différent de. Donc le pointB n’appartient pas à la courbe représentative de la fonction.
. Donc le pointB n’appartient pas à la courbe représentative de la fonction
. 2.Calcul de coordonnées
Un pointM de la courbe a pour coordonnées 
. Dans certains exercices, il est demandé de calculer une coordonnée d’un pointM connaissant l’autre coordonnée. On peut connaître
et calculer
, ou connaitre
et calculer
.
a.Calcul de y à partir dex
C’est le calcul le plus simple à faire puisqu’il consiste en un calcul d’image. Il permet notamment de tracer la courbe représentative d’une fonction, à partir des abscisses de plusieurs points.
Méthode
Pour calculer
à partir de
, remplacer
par sa valeur dans l’expression algébrique de la fonction. On obtient 
.
Exemple 1
Soit 
la fonction définie sur
par
.
On veut calculer les images des abscisses –2 et5.
On remplace 
par–2 dans l’expression de 
:
. Donc –2 a pour image 
.
On remplace 
par5 dans l’expression de
:
. Donc 5 a pour image
.
Exemple 2
Soit 
la fonction définie sur l’intervalle [–2;4] par
.
On veut tracer la courbe représentative de la fonction
.
- On choisit plusieurs valeurs de que l’on indique dans le tableau de valeurs suivant.
–2 –1 0 1 2 3 4 - Pour compléter la première colonne, on calcule l’image de–2 par la fonction:
De la même manière, il faut calculer l’image de–1 par la fonction:
Il ne reste plus qu’à faire de même pour la suite du tableau. Les résultats obtenus sont les suivants:
Ce tableau indique les coordonnées de plusieurs points de la courbe: A(–2;11), B(–1;4), C(0;–1), D(1;–4), –2 –1 0 1 2 3 4 11 4 –1 –4 –5 –4 –1
E(2;–5), F(3;–4) etG(4;–1). - On place les points sur le graphique et on obtient alors la représentation graphique de la fonction.
que l’on indique dans le tableau de valeurs suivant. 
:
:
. 
Remarque
Plus il y a de points déterminés, plus le tracé de la courbe est aisé.
b.Calcul de x à partir de y
Ce calcul se fait par la résolution d’une équation. En effet, il faut déterminer les valeurs de
de l’ensemble de définition qui vérifient la relation
.
Méthode
Pour calculer
à partir de
, il faut :
- remplacer par sa valeur dans l’expression algébrique de la fonction ;
- isoler d’un côté du signe égal. Cela revient à résoudre une équation d’inconnue .
. Exemple
Soit 
la fonction affine définie sur
par
. Le pointA(
;10) appartient à la courbe de la fonction
.
On souhaite déterminer l’abscisse
du pointA.
- Le nombre est tel que, c’est-à-dire que.
- On va donc résoudre cette équation du premier degré:
Donc le pointA a pour coordonnées (–2;10).
est tel que
, c’est-à-dire que
. 
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